120 PHRAGMÉN, FUND AMENTALSATZ DER ALGEBRA. 



Sind F(.v, y) und G{x,y) zwei ganze rationale Functionen der 

 z^yei Veränderlichen x und y, in welchen die höchste Potenz von 

 X nur mit einer Constanten multiplicirt erscheint, und gelten die 

 obigen Voraussetzungen von den Functionen F(x,i/^), G{x.y-^) 

 welche man durch Einsetzung des speciellen Werthes y == y^ 

 erhält, so giebt es eine Umgebung von //j, innerhalb welcher die 

 Functionen 



F{x,y), G(x,y) 



an den Theilpunkten der Strecke Xf^ ... .Pj dieselben Vorzeichen bei- 

 behalten wie F{x, 3/1), G(x,y-i), und auch nur in denjenigen Theil- 

 strecken gleich Null werden, wo dies mit F(x,y^) resp. G(x,y^) 

 der Fall ist. 



Man denke sich jetzt eine ganze Zahl h in der folgenden 

 Weise definirt. Für einen gegebenen Werth von y seien |j, B^, £3... 

 die nach der Grösse geordneten Wurzeln der Gleichung F{x,y) = 

 zwischen Xq und x\; sind gleiche Wurzeln vorhanden, so werde 

 jede solche in der obigen Reihe so oft wiederholt wie die Ord- 

 nungszahl angiebt. Dann werde für jeden der Werthe .c = ^^ , 

 X = t^ . . . das Vorzeichen von G(x, y) bestimmt. Die so erhaltene 

 Zeichenreihe reducire man so lange durch Ausstreichen jeder 

 geraden xlnzahl benachbarter gleicher Zeichen, bis die Reihe nur 

 Variationen aufweist. Dann sei h die Anzahl dieser Variationen. 



Um diese Zahl für ?/ = ?/i zu berechnen, bedarf es offenbar nur 

 der Kenntniss der Vorzeichen der Grössen Fix.y^), G{x,y^) an 

 den Theilpunkten der Strecke Xq... x^ . Wenn nämlich F{x,y^) an 

 den Endpunkten einer gewissen Theilstrecke gleiche Vorzeichen 

 hat, so hat F{x,y^) = ^ in dieser Theilstrecke entweder keine 

 Wurzeln, oder auch eine gerade Anzahl für welche G(x,y^) dasselbe 

 Vorzeichen hat. Diese gerade Anzahl von gleichen Vorzeichen 

 hat aber auf den Werth von h keinen Einfluss. Hat dagegen 

 F(x, ?/,) verschiedene Vorzeichen an den beiden Endpunkten der 

 Theilstrecke, so hat die Gleichung F{x,y^) = innerhalb der- 

 selben eine ungerade Anzahl von Wurzeln für Avelche G{x,y^) 

 ein und dasselbe Vorzeichen hat, nämlich dasjenige welches diese 



