ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖUHANDLINGAB 1 8 9 1 , N:0 3, 1 23 



Ist Q die untere Grenze derjenigen Wertlie von r, für welche 

 h = n — 2 ist, so müssen die Functionen 

 F{w , q) , G{w , q) 



einen gemeinschaftlichen Theiler haben welcher zwischen w^ und 

 10 1 verschwindet. Denn im entgegengesetzten Falle giebt es nach 

 der vorigen N:r eine Umgebung von q^ in der die Zahl h nicht 

 geändert wird. Es haben also die Gleichungen 



F{w,q) = 0, 

 G{w,q) = 



eine gemeinsame reelle Wurzel lo, und also f{x) einen quadra- 

 tischen Theiler 



X- — 2iva; + q"^. 



Da der Quotient wieder einen quadratischen Theiler besitzen 

 muss, falls sein Grad grösser als zwei ist, so ist hiermit auch 

 der Satz bewiesen: 



Jede ganze rationale Function einer Veränderlichen mit 

 reellen Coejßcienten kann in ein Product von reellen Factoren 

 ersten oder zioeiten Grades zerlegt icerden. 



6. Bildet man die Vorzeichenreihe durch welche wir in N:r 

 4 die Zahl h definirt haben, indem man von den Functionen 

 (D{u, r), ''P{u,r) und der Strecke — 1 + 1 ausgeht, und be- 

 deutet k die Anzahl der Variationen der Reihe, welche entsteht 

 wenn man zu der genannten Reihe, nach der Reduction, am An- 

 fang und Ende die Vorzeichen der Grössen /( — r) und /(+ r) 

 hinzufügt, so hat diese Zahl k eine einfache Bedeutung. Ist 

 nämlich die Anzahl der linearen Factoren 



a; ± Q 

 von /(.t'), i» denen 



Q <r 



ist, gleich /, und ebenso die Anzahl der im reellen Gebiet irre- 

 ductiblen quadratischen Factoren 



a;^ — 2uQx + q'^ 



Öfvers. af K. Vet.-Akad. Förh. Arg. 48. N:o 3. 3 



