126 PHRAGMÉN, FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA. 



gleich Null sind, und ausserdem keine zwei Factoren identisch sind. 

 Wird die genannte Umgebung hinreichend klein gewählt, so 

 sind die Vorzeichen der Grössen /( — r), f{r), ^(u. r) (für die 

 Endpunkte der Theilstrecken) und also die Zahl k für alle Werth- 

 systeme dieser Umgebung dieselben. Wenn wir also unseren 

 Satz unter der Voraussetzung beweisen, dass alle 



von Null verschieden sind, und dass f{x) keine gleiche Factoren 

 besitzt, so ist er dadurch auch allgemein bewiesen. 

 Ist r ein Werth für welchen 



/( — ^) oder f(r) 

 gleich Null ist, so kann unter diese Voraussetzung die grösste 

 Variation von ä; innerhalb der Umgebung von r, höchstens ± 1 

 sein. Ist z. B. /( — f) = 0, so hat man nämlich 



denn wäre auch ^f ( - 1, r) = 0, so müsste in Folge der Identität 

 ^f{— 7^) = —r(D{— 1,7^) + 'F(— 1, r) auch 0{ — 1, r) gleich Null 

 sein, und man hätte 



/(;»)eeO, mod {.v + Jf 



was gegen unsere Voraussetzung ist. 

 Wenn also die Gleichungen 



0(u ,r) = 



zwischen — 1 und + 1 keine gemeinschaftliche Wurzel besitzen, 

 so bleibt die reducirte Form derjenigen Vorzeichenreihe welche 

 die Zahl h definirt, in der Umgebung von r ungeändert, und die 

 Zahl k kann also nur in so fern variiren dass möglicher Weise 

 am Anfang ihrer Definitionsreihe eine Variation in eine Perma- 

 nenz übergehen kann oder umgekehrt. 

 Ganz analog verhält es sich wenn 

 f(r) = 

 ist. 



