ÖFVEE.SIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1891, N:0 3. 127 



Haben endlich die Functionen 



(D{u , r) , ^(u , r) 

 einen gemeinschaftlichen Theiler H{i() und hat die Gleichung 



H{u) = 



eine Wurzel ü zwischen — 1 und +1, so ist jede solche Wurzel 

 zufolge unserer Voraussetzung eine einfache Wurzel der Gleichung 



(D(u , r) = , 



Das Werthsystem ^<, r muss ja nämlich mit einem der in 

 (17) vorkommenden Werthsysteme zusammenfallen, sagen wir mit 

 Mx,-, n-- Man hat dann 



fk{x) EE (D/^.(u , r)Ä' + Wi.{u , 7-) , mod {a^- — 2ui\v + r"^) , 

 also 



f{x) = (m^iu , ryx + Wi{u, t)) {2{ur — Ukn)x — {r^ — r^.) . 



Hieraus erhält man 



W{u , r) = 2r,{u — u,) [2ur, fDk(u , r,) + W,{u , n)] , 

 woraus, da nach der Voraussetzung 



2?H■n■(D,{^h■,n■)+'Pi■{^^/i■,n) 



von Null verschieden ist, sogleich hervorgeht, dass die Wurzel 

 u =Uic einfach ist. 



Bei der für die Definition der Zahl h verwendeten Einthei- 

 lung der Strecke — 1 . . . + 1 in Theilstrecken, kann man in 

 diesem Fall eine Theilstrecke so wählen, dass sie von den Wurzeln 

 der Gleichung (Z)(n,?>) = nur u = ui- enthält, und dass die 

 erste Derivirte (D'(ii,tj;) innerhalb derselben von Null verschieden 

 ist. Dann gilt es aber für eine gewisse Umgebung von r = r^ 

 dass die Gleichung (D{u,r) = innerhalb der fraglichen Theil- 

 strecke nur eine Wurzel besitzt. Das Einzige was in unserer 

 A^orzeichenreihe in der Umgebung von r = rj^ variiren kann, ist 

 das Vorzeichen welches dieser Wurzel entspricht (d. h. es könnte 

 ja für jede Wurzel der Gleichung Hi^ii) == ein solche Ungewiss- 

 heit entstehen). 



