128 PHRAGMÉN, FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA. 



Um aber so einfach wie möglich zu sehen welche Änderung der 

 Zahl k dies nach sich zieht, wollen wir diese Zahl noch auf eine an- 

 dere Art als früher aus der gegebenen Vorzeichenreihe herleiten. 



Statt nämlich unmittelbar die Folge der Vorzeichen zu be- 

 trachten, könnte man ebensowohl die Folge der Variationen und 

 Permanenzen, welche daraus entstehen, in Betracht ziehen. 



Es ist leicht die Regel zu finden nach welcher diese Reihe 

 zu reduciren ist. 



Zieht man nämlich in der Reihe der Vorzeichen zwei gleiche 

 Zeichen, z. B. zwei +, in Betracht, welche sich nicht zu Anfang 

 oder am Ende der Reihe befinden, so können sie entweder: 



listens zwischen zwei andere 4- stehen, oder 



2:tens zwischen zwei — , oder 



3:tens zwischen ein — und ein +. 



Werden diese beiden + gestrichen, so geht also in der Reihe 

 der Variationen und Permanenzen: 



im ersten Falle: jj p p in p über (indem wir eine Permanenz 

 durch p, eine Variation durch v bezeichnen), 



im 2:ten Falle: vpv in p, und 



im 3:ten Falle: vpp oder p p v in v. 



Es können also immer zwei benachbarte p, und ebenso gleich- 

 zeitig ein V vor und ein anderes nach ein p gestrichen werden. 

 Es soll diese Reduction so lange fortgesetzt werden, bis höchstens 

 am Anfang und Ende der Reihe ein p zurück bleibt. Die Zahl 

 h wird dann durch die Anzahl der noch vorhandenen v gegeben.- 



Wie man jetzt unmittelbar einsieht, kann die Zahl h auch 

 so erhalten werden, dass man die Variationen in zwei Gruppen 

 theilt, indem man eine Variation als zur ersten oder zur zweiten 

 Gruppe gehörig betrachtet, je nach dem ihr eine gerade oder eine 

 ungerade Anzahl von Permanenzen vorangeht. Die Zahl k ist 

 gleich der Anzahl der Variationen welche die grössere Gruppe 

 mehr als die kleinere enthält. 



Jetzt sieht man sogleich, dass wenn ein Vorzeichen unserer 

 Reihe, welches weder das erste noch das letzte ist, geändert wird, 

 so ändert sich dadurch der Werth von k mit + 2. 



