132 BENDIXSON, OM VISSA ALGEBR. UPPLÖSBARA LIKHETER. 



Abel förde emellertid undersökningen ett steg längre, i det 

 att han visade, att F{x) == O äfven i det fall är algebraiskt upp- 

 lösbar, när mellan funktionerna QyX^ den relationen äger rum att 



I stället för att fullfölja det uppslag, Abel här gifvit till be- 

 stämmande af de nödvändiga och tillräckliga vilkoren för att en 

 likhet, så beskaffad att hvar och en af rötterna låter uttrycka 

 sig rationelt i en af dem, skall vara algebraiskt upplösbar [hvilken 

 frågas lösning ju omedelbart leder till bestämmande af den gene- 

 rella frågan: livilka likheter som öfver hufvud taget äro alge- 

 braiskt lösbara] vändes algebraisternas uppmärksamhet genom 

 Galois' epokgörande arbete »Memoire sur les conditions de ré- 

 solubilité des équations par radicaux» (Journal de mat. pures et 

 appliquées Tome XI) åt studiet af de substitutionsteoretiska 

 egenskaper, som tillkomma algebraiskt upplösbara likheter. 



På denna väg lyckades det äfven att bestämma, hvilka lik- 

 heter som äro algebraiskt upplösbara. 



A andra sidan tjenade Abels posthuma arbete »Sur les 

 équations résolubles algébriquement» till utgångspunkt för en serie 

 undersökningar, förnämligast af Kronecker, hvilka ledt till 

 bestämmande af den explicita algebraiska funktion, som är rot 

 till en algebraiskt upplösbar likhet. 



Det har synts mig vara af intresse att uppvisa, huru man, 

 genom fullföljande af Abels tankegång i hans afhandling »Me- 

 moire sur une classe particuliére d'equations résolubles algébrique- 

 ment», utan svårighet finner de nödvändiga och tillräckliga vilkoren 

 för att en likhet, i hvilken hvarje rot är en rationel funktion af 

 en af rötterna, skall vara algebraiskt upplösbar. ') 



Vi framkomma härvid till följande sats: 



') Netto söker i sin »Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Al- 

 gebra», aid. 109 — 203 generalisera Abels metod och kommer där till en 

 klass af algebraiskt lösbara likheter utan att likväl framkomma till de nöd- 

 vändiga och tillräckliga vilkoren. 



Exempelvis är den GALOis"ska resolventen till en allmän likhet af 4:de 

 graden icke inbegrijien i den klass han studerar. 



