134 BENDTXSON, OM VISSA ALGEBR. UPPLÖSBARA LIKHETEa. . 



Här äro 0, ©^ . . . Q/n—i rationella funktioner af.r^, hvars koeffi- 

 cienter tillhöra området (R . . . E^?^) . 

 Om vi nu sätta 



f{x) = (^ ~ wi) (x — a^i) . . . {.v — 0"-i«,) 



så kunna koefficienterna i denna funktion uttryckas som ratio- 

 nella funktioner af en kvantitet 



ipit, w,) = {t — w,) (t —■ ex,) ...{t— Q—Kv,) 



som själf är rot till en likhet af ^tcte graden med koefficienterna 

 rationella inom rationalitetsområdet [t, R' . . . i?^?)] ^), 



F^{x') = [a' — ^^(t, X,)] [x — ip{t, Q.x,)] . . . [x' — ip{t, Qu-ix,)] 

 = 0. 



Om t betraktas som obestämd kvantitet, dock underkastad vil- 

 koret att endast antaga värden, som tillhöra rationalitetsområdet 

 {R' . . . E^?^), så tillhöra F^:s koefficienter äfven samma rationali- 

 tetsområde. 



Om likheten 



F,{x') = O 



kan man nu lätt visa, att den är irreduktibel, ty om den hade en 

 divisor, så skulle 



\X — lf.it, X,)] [.^'' — Xp{t, Qr^X,)] . . . [X - Ifit, Sy^X^)] 



där I <. f-i — 1, vara rationel inom rationalitetsområdet, således 

 Il {t, A'i)^(^, 0y,.'?^i) . . . xfjft, &v.^''-i) = rationel inom rationalitets- 

 området. Men venstra membrum är en divisor till F(t) som ju 

 var antagen irreduktibel inom detta område. Vi ha således kom- 

 mit till en omöjlighet, hvaraf framgår att 



F^(x') = O 



är en irreduktibel algebraisk likhet. 



Om jag nu visste att en af rötterna till F^{x') = O kunde ut- 

 tryckas rationelt i en annan af dess rötter, så skulle ju dessa 

 kunna skrifvas 



') Jfr Abel, »Memoire sur une classe particulÜTe d'equations . . .». Edit Sylov, 

 sid. 484—486. 



