ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINaAR 1891. N:0 3. 135 



åt/ t> 5 A»-' 9 5 ... /v tt/ r> 



A'l»h 



där A är en rationel funktion sådan att )J'-^x' = x. Jag skulle 

 ju då på samma sätt som ofvan kunna reducera likheten 



F,{x') = O 

 på en likhet 



F,{x') = 0, 



af graden ^Uj , hvars koefficienter äro rationella inom det gifna 

 rationalitetsområdet samt till en enkel Abelsk likhet 



f\{x) = (x — x\) . . . (x - X"^-\t\) = O 



hvars koefficienter äro rationella i en rot till F^(x")=0. 



Jag vill därför till att börja med söka bestämma de nöd- 

 vändiga och tillräckliga vilkoren för att likheten ofvan 



F,{x') = O 

 skall vara sådan att en rot är rationel i en annan. 



Om detta äger rum, måste en af funktionerna ip{t, QyX-y) 

 vara = lip(t,x-i), och anta vi att 



ip{t,QiXj) = l\p{t,XY), 

 erhåll es ur 



yj{t, Q^Qx^) = lipit, @A'j) = \fi{t, Q^x^) 



att {t — 01 ©A',) {t — 00^ Qx^) ...{t— 0»-^0, Qxy) = 



= {t— G^x^) {t — 00i:ri) ...{t— 0«-i0,.rj) . 



Af ofvanstående likhet framgår att för något helt tal « 



0j0.ci = 0"0i.r, . 



Detta är ett nödvändigt vilkor för att en rot i F^ skall vara 

 en rationel funktion af en annan rot. Men vi kunna äf ven visa, 

 att det är tillräckligt. Ty ur likheten ofvan erhålles 



0" 010^.1 = 0«+'' 01.^1 

 och således 



ifit, 0, Qx^) = {t— Q^Qx^) {t — OQ^Qx^) ...{t— Q^-^Q^Qx^) 



= (t — e"Q,x,) {t — 0«+i0i.r,) ...{t— 0«-i0,^'i) 



. =ip{t, 01 ^i)- 



