138 BENDIXSON, OM VISSA ALGEBR. UPPLÖSBAKA LIKHETER. 



Om då 



'<' = (i, - ^^'i) ih - ^^-^'i) ■■•ih- A«'-^^',) 



- [t, ~ yj{t, .v,)] [t,-ifj{t, ©i^rj)] ... [t,- ip{t, ©r-^^i)] 



så bli de andra rötterna 



Men en af dessa skulle vara rationel i a' livaraf vi få 



Ora jag i högra membrum ersätter ^j med 0^.^^ , så blir den oför- 

 ändrad, hvaraf inses att 



Här af följer att 



= [t, - tp(t, 0.^1)] [^1 - V^C^. 0i02^i)] • • • 



h varur 



ip(t, Q.,Q^Xy) = xfj(t, ©f 02^fi) . 



Ur detta åter erhålles 



0,0J.^.^ = 0«"0f 02.^j. 



Men å andra sidan är 



lp{t, 0A'j) = ip{t, x^) 

 och här af 



xpit, Q\ex,) = ipit, Q''&[x^) = ipit, 0>i). 



Således blir 



j/y/^i , t, Q.,Qxi) = ip^{t^,t, G.^Xy) 



och sålunda ur detta analogt med ofvan 



0.^0.«, = 0"'0f02^i. 

 Likheterna 



020.^1 = 0"'0f 02^', , 1 



0^0^^, ^ Q""Qf'Q^x, I 



utgöra således ett nödvändigt vilkor för att en af rötterna i F^ 

 skall vara en rationel funktion af en annan af dess rötter. 



