140 BENDIXSON, OM VISSA ALGEBR. UPPLÖSBARA LIKHETER. 



Det nödvändiga och tillräcMiga vilkoret för att en rot i F^ skall 

 vara rationel i en annan af dess rötter, är således 



©2©j^j =: ©""©f'02^'J 

 Om nu 



^/"2.t;'^' = w"^^ så blir \fj]\t^, t, Q^^x^ = ipiit^., t, x^) och således 



©:;2^j = ©'^•©r^i . 



Äger nu denna relation mellan ©, ©j och ©^ rum, kunna vi reducera 



F^{x") = O 

 på analogt sätt till två likheter. 



Nu fortgår jag på detta sätt, till dess jag framkommit till 



där en rot 



X\-'^ = [tv-<i — tpr-i{tr-3 •■•ti,t,Xi)] [t,.,^ - Ifly . ^{ty-s ...t^,t, ©r-2^i)] • • • 

 = yjy—2{ßr—2 ■ • ■ t^ , t , W^) 



och det nödvändiga och tillräckliga vilkoret för att en af dess 

 rötter skall vara en rationel funktion af en af de andra rötterna, är 



0,,_i©i= ©"'"-i0f'''-i.. e^z-^'&r-i 



i 



/_9 ' 



©,,_i©„_2= 0<:?©f,'-? . . ©f.rf ©,_ X ] 



I det fall att denna relation är uppfylld, låter likheten 



reducera sig på 



/■,,_i(^''-i) = (^''-1 — .«[-^ (^''-^ — (T.r[-i) . . . {x''-^~ a"^''Vj'-i) , 



där G är en rationel funktion, och koefficienterna äro rationella 

 i en rot x^^ till 



Fr{x-) = (i, 



x\ = {ty-i — x[^^) {ty^x— ox^"^) . . . (^,,_i — a",-^Ä^J'"^) 



= [ty^l —1py_2{ty-2---ti, t , X\)][ty-l- 1py^2{ty-2. . .ti , ^Öy-l^t?,)] 

 . . . [ty- 1 — l//y_.l(^,.„-2 . . .ti,t,Xi, Qy-lXi)] 

 = lpy-l{ty-X ... tj,t,Xi). 



