144 BENDIXSON, OM VISSA ALGEBE,. UPPLÖSBARA LIKHETER. 



Vi erhålla således 



^o = ipit, 0l.^',) = H{t, 10,-1 Fg-i . . . Fl , i?' . .. E^). 

 Om jag nu i allmänhet sätter 



samt om C{y^ . . .y2\_-^ är en cyklisk funktion af?/, . . . yp _i^)i 

 så inses att Chj-^ • • -Vp _i) är oberoende af l^^—i, och vi erhålla 



C{y, . . .yp,_,) = ~H{t, n-2 •-.V.^E... R9) . 



Som nu i likheten 



m = i:y-y^)■^^{y-yv,_,)^=^ 



hvarje cyklisk funktion af rötterna är rationel inom området 

 Fg_2 ... Fj, R' . . . R?^ så blir f(y) inom detta område en enkel 

 Abelsk likhet och således 



i/2 = %i, V2--- V„R'...R^) 

 d. v. s. 



ip{t, &^x^) =l(ip(t, A'i), F^.o ... V^,R' ...R?), 

 där ?. är en rationel funktion. 

 Men 



H(^,V,_, ... V„ R'...RQ)=Y[(a;~(pi^R'...R?, V,... F,_i, co';F,)) 



är ju inom rationalitetsområdet F^_i ... Fj, R' . . . R? en potens 

 af en enda irreduktibel factor, och eftersom p, är ett primtal, är 

 H irreduktibel inom ofvannämda rationalitetsområde. Häraf föl- 

 jer att 



ip{t, Q,ex,) = l(ip{t, Qx^), F,_2 . . . F, , i2' . . . R9) 



Men detta innebär, att 



och häraf åter följer, enligt hvad vi ofvan visat, att 



ifj(t, ©lA'i) = lxfj(t, x^), där X är en rationel funktion. 

 ') Jfr Kronecker, >ijber Abelsche Gleich.» Berliner Monatsber. 1877. 



