466 RUBENSON, ÖFVERLEFVELSE-KAPITALFÖRSÄKUING. 



Ännu olämpligare synes mig den metod vara, som Zillmer 

 använder') för att bevisa formeln (1). Sedan han på vanligt 

 sätt deducerat formeln (4), gällande med det vilkor att B ännu 

 lefver vid slutet af ^:s dödsår, härleder han en analog formel, 

 hvari antages att kapitalet utbetalas, så framt blott ß upplefvat 

 hörjan af /l:s dödsår. Aritmetiska mediet mellan de sålunda 

 för dessa båda fall funna värdena på P(ni),n anser nu Zillmer 

 vara det rätta kapitalvärdet motsvarande det i problemet upp- 

 stälda vilkoret, hvilket han stödjer på den satsen, att, när Å 

 och B dö inom samma år, lika många fall böra inträffa då A 

 dör före B, som då B dör före Å^ således samma antagande som 

 vid den vanliga metoden att bevisa formelns giltighet. 



Jag skall nu söka bevisa formeln (1) genom ett antagande 

 som förefaller mig så mycket naturligare, som detsamma mången- 

 städes inom andra områden af försäkringsteorien användes och 

 derjemte nödvändiggöres af obekantskapen med den funktion, 

 som representerar serien af de vid olika åldrar qvarlefvande per- 

 sonernas antal i en mortalitetstabeli. 



Låt a^, såsom förut, beteckna antalet m-åriga qvarlefvande, 

 tillhörande kategorien A^ och hn antalet n-åriga qvarlefvande af 

 kategorien B^ så är sannolikheten för A att lefva om p år, d. v. s. 



a 



vid fylda m-\-'p års ålder, - — - , och sannolikheten för honom att 



dö under sitt (?n + p + l).'sta år är '""""^ nx+p+_^ Dela vi detta 



hans dödsår i s lika stora delar och söka sannolikheten för att 

 A upplefver r sådana s:te delar af året, men dör inom den 

 (r + l):sta s:te delen, sa är denna sannolikhet naturligtvis 



n r /, r + \ 



'-''m+p-i — "m+joH 



Söka vi vidare sannolikheten för att B lefver vid slutet af den 

 årsdel, under hvilken A antages aflida, så få vi såsom uttryck 

 för denna sannolikhet 



') Se D:r A. Zfllmer: Die mathematischen Rechnungen bei Lebens- und Ren- 

 tenversicherungen. 2:te Aufl., Berlin 1887, p. 101. 



