ÖFVEKSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1891, N:0 7. 525 



" = "2€<z 



(12) Z'^='' 



n=l 



och emedan denna formel gäller tor alla värden på lo, som äro 

 större än 1, så måste alla termerna utom den första i serien i 

 venstra membrum vara noll. Vi erhålla alltså för n ^ 2 formeln 



(13) 2i^ä = 0, 



d 



der d genomlöper talets n positiva divisorer. 



Vi antaga nu, att g{h) är en funktion, som är fullkomligt 

 bestämd för alla hela positiva värden på //, och som har den 

 egenskapen, att 



(14) mgi^ = 9{hk) 



fcir alla hela positiva värden på h och k. Vi anmärka här, att 

 funktionen g{h) blott behöfver vara definierad för hela positiva 

 värden på h. För k ^ 1 erhålla vi af eqv. (14) 



(15) g{h){g(l)-l}^0. 

 Sätta vi här A = 1, så finna vi 



(16) ^(1){^(1)-1} = 0, 



och således måste ^(1) antingen vara lika med O eller lika med 

 1. Om ^(1) = 0, så följer af eqv. (15), att g{h) är noll for 

 hvarje helt positivt värde på h. Detta fall utesluta vi, och så- 

 ledes är 



(17) Kl) = l- 



Om f(x) är en funktion af en variabel x, hvilken har den 

 egenskapen, att dubbelserien 



A — CO k^co 



(18) S\e,g{hk)f{hka;) 



A=l k=l 



är absolut konvergent, så kunna vi omordna termerna, och emedan 

 h och k vid summationen antaga alla hela positiva talvärden, så 

 är produkten hk alltid ett helt positivt tal, och vi erhålla en 

 likhet af formen 



