526 ~ BERGER, DE BERNOULLISKA FUNKTIONERNA. 



A = OD ^-^oD n~co 



(19) y y i-hgihk)f{hkx)= y cng{n)f{nx). 



h = \ A- = l 11 = 1 



Den här ingående koefficienten Cn är tydligen bestämd af 

 likheten 



(20) <^n=^^2å^''' 



h k 



der vid summationen de hela positiva talen h och k kombineras 

 med hvarandra på alla sätt, som äro förenliga med vilkoret 



(21) hk = n. 



Häraf följer, att h genomlöper alla positiva divisorer till /j, och 

 emedan för ett bestämdt värde på k talet k också är fullt be- 

 stämdt enligt eqv. (21), så kan eqv. (20) skrifvas 



(22) Cn = ^Sd , 



der d genomlöper talets n alla positiva divisorer. 



Om vi nu använda eqv. (13) på eqv. (22), så finna vi, att 



(23) c, =1, 

 samt att 



(24) Cn = O 



för n >2. Med användning af dessa två formler transformeras 

 eqv. (19) till 



(25) ^ ^^ngm fQikx) = g{l) f{x) . 



h=l k=] 



Om vi i denna likhet låta de båda membra byta plats samt 

 använda eqv. (14) och (17) sä erhålla vi 



h = co ^' = 00 



(26) f{x) = y ,ng{h) y^g(k)fihkv) , 



h=l k=l 



hvarmed följande teorem är bevisadt. 



Teorem I. Om f(x) är en funktion af en variabel x, och 

 om g(h) är en funktion, som för alla hela positiva värden på h 

 och k uppfyller vil koren 



