ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1891, N:0 7. 527 



g{li)g{lc) = g{hk) , g{l) = 1 , 

 så är 



A=l k=\ 



för alla värden på x, for hvilka serien i högra membrum är 

 absolut konvergent. 



Medelst denna formel är funktionen f{x) utvecklad i en 

 dubbelserie. Om det är möjligt att summera den andra serien 

 i högra membrum och således erhålla ett finit uttryck för den- 

 samma, så erhåller man en utveckling af funktionen f{x) i en 

 enkel serie. 



Herr Tchebicheff är, så vidt jag känner, den förste, som 

 användt en dylik metod att utveckla funktioner i oändliga serier.') 



§ 2. 



Innan jag använder teorem I, skall jag här anföra några 

 formler ur de Bernoulliska talens och funktionernas teori, och 

 jag skall härvid begagna samma beteckningar för dessa tal och 

 funktioner, som jag användt i några af mig under de senare åren 

 utgifna afhandlingar. -) 



Med de Bernoulliska talen förstår jag koefficienterna 



(27) AO), B{1), B{2), B(d), 



i serieutvecklingen 



(28) ^y^ = B{0) + B{l)v + B{2y- + B{?,y' + ...., 

 hvilken gäller för |?'| < 2?!. Af eqv. (28) och formeln 



(29) ^^■ = i + r + r^ + rT:3 + ---- 



') Note sur différentes series. Par M. P. Tchebicheff (Journal de mathé- 

 matiques de Liouville. Tome XVI, année 1851, p. 343). 



^) Se t. ex.: Recherches sur les nombres et les fonctions de Bernoulli. Par 

 A. Bebger, 1890. (Acta mathematica, tome 14, p. 249). 



