528 BERGER, DE BERNOULLISKA FUNKTIONERNA. 



erhålles 



(30) . = |^+^ + ^ + ....|{^(0) + ^(l). + ^(2K- + ...} 



eller efter utförandet af produkten i högra membrum 



(31) ^^m^^i^m^my 



_^im}^B(n + 3^U^ 



\ 1 1-2 "^ 1.2-3f 



Sätta vi koefficienterna för v™ i båda membra lika med 

 hvarandra, så erhålla vi 



k = m 



(32) ^(0)^1, V^I^^^O för m>2. 



k = l 



Medelst eqv. (32) kunna de Bernoulliska talen lätt be- 

 räknas. Om vi nämligen i den andra likheten sätta m successive 

 lika med 2, 3, 4, ... . och lösa de sålunda erhållna eqvationerna, 

 så finna vi de Bernoulliska talens värden; de tio första äro 



(33) 5(0) =1, i^(l)=-|, ^X2=i, 5(3) = O, 



^(«) = -W0' ^^^) = ^- 



Med de Bernoulliska funktionerna förstår jag koefficien- 

 terna 



(34) <^{z,0), (f{z,l), rp(z,2), (f{z,S),... 



i den för jt>|<2rr gällande serieutvecklingen 



(^5) v'^^^—-^ = cp{z,0) + cp{z,l)v + cf{z,2y- + qiz,Sy+.... 



(36) 



Af eqv. (28) och (29) erhålles 

 g«" — 1 



= ly + ^ + j^ + . . .} {5(0) + 5(1). + 5(2).^- + . . .} 



