530 BERGER, DE BERNOULLISKA PUNKTIONERNA. 



(43) 0<a; — E{.t) < 1 . 



Om .2; är en reel qvantitet hvilken som halst, och vi sätta 



(44) z = aj~ E{.t) , 



så är enligt olikheterna (43) vilkoret (42) uppfyldt, och alltså, 

 erhålla vi för m > 2 af eqv. (41) 



1 ^k 1 piknxi I / 1 \inp — 2kTCxi 



('^^> (2^2^ — k^ — = - ^("') -f^"" ^(•"^ • "i • 



hvilken formel gäller för alla reela värden på x. 



Vi uppställa nu följande definition. 



Definition 1. Om x är en reel qvantitet hvilken som hälst, 

 och m ett helt tal, som uppfyller vilkoret 



m^2, 

 så definiera vi en funktion T{x, m) medelst likheten 



(46) T{x, m) = cf\x — E{x), rn] + B{m) . 



Emedan cf{z,m) är en hel funktion af z, och emedan qvanti- 

 teten x — E{x) alltid är innesluten mellan gränserna O och 1, så 

 är T{x,ni) ändlig för alla reela värden på x, äfven för .-c = 00. 

 Då X varierar kontinuerligt mellan två konsekutiva hela tal, 

 bibehåller E{x) samma värde, och x — E{x) varierar kontinuerligt, 

 och således är funktionen T{x,m) då kontinuerlig. Då variabeln 

 X passerar ett helt tal, så varierar x — E{x) diskontinuerligt oeh 

 springer öfver från 1 till 0; emedan m>2, så äro både ^(0, m) 

 och cf{l,m) lika med noll, och alltså är funktionen T{x,in) äf- 

 ven då kontinuerlig. 



Härmed är således bevisadt, att funktionen T{x,m) är änd- 

 lig och kontinuerlig för alla reela värden på variabeln x. 



Om vi ersätta x med x + 1, sä erhålles af eqv. (46) 



(47) T{x + l,m) = rp{x + l—- E{x + 1 ) , m} + B{m) 

 och alltså 



(48) T{x + 1, m) = (flx—E{x) , m} + B{m) , 

 och af eqv. (46) och (48) följer 



