ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAK 18 9 1, N:0 7. 531 



(49) T{x + 1 , m) = T{x , m) , 



hvilken likhet visar, att funktionen T{x , m) är en periodisk 

 funktion af x med perioden 1. 



Om X är ett helt tal, så följer af eqv. (46) 



(50) T{x , m) = y (O , m) + B{ m) = B{m) . 



Om vi använda eqv. (46) på formeln (45), så erhålla vi 

 likheten 



\ 1 olknxi I ( 1 \ma — iknxi 



(51) 2^ ^^-^' = - {^niYT^{x, m) , 



A = l 



hvilken gäller för alla reela värden på x. Härmed är följande 

 teorera bevisadt. 



Teorem II. Om man med x betecknar en reel qvantitet 

 hvilken som hälst och med 771 ett helt positivt tal, som är större 

 än eller lika med 2, så är 



A-=co 



niknxi I ( 1 \inp — 2k7ixi 



^^^-j^- = - {^nirT{x, m) . 



För m = '2n erhålles häraf 



(52) |2^^ = (-iy-\inr j-(.,_ 2,.) ^ 



-t=i 

 och för m = 2n + 1 finna vi 



k=^ 



/fiQX X^sm^krjx (-l)«-i(27r)2"+i , ,^ ^^^ 

 (53) 2_j k'^n-.i = —2 — ^(^ ' 2»^ + 1) ^ 



Formlerna (52) och (53) gälla för alla reela värden på x 

 och för n > 1. 



I sina föreläsningar öfver de binära qvadratiska formerna 

 har Professor Kronecker infört begreppet fundamentaldiskri- 

 rainant, och han förstår dermed hvarje helt tal J, som ej är ett 

 positivt qvadrattal, och som är af någon af följande tre former: 



