538 BERGER, DE BERNOULLISKA FUNKTIONERNA. 



För in := %i erhalles liäraf 



h = co 



A=l 



och för 771 = 2n + 1 erhålla vi 



(b9) sm 27ta; — ^ /^ p^^^H • 



h = l 



Dessa två formler gälla för alla reela värden på x och för alla 

 hela positiva värden på n. 

 Om vi i teorem I införa 



(90) f(.x) = e2/r^*- +é(— l)«g-2/rxi 



samt 



(91) ?w = (l)s=' 



der m är ett helt tal, som är större än eller lika med 2, så 

 erhålles 



(92) e2,T^i + £(^_ iyn(>-^nxi 



h = co i' = 00 



2^\hjh^^'2^\k 



h = l i- = l 



och alltså enligt teorem III 



h = oo 



(93) ,2.- + ,(_l)™,-2-^^ -^ ^^2^|-| ^^„, 



A = l 



hvarmed följande teorem är bevisadt. 



Teorem VII. Om /I är en fundamentaldiskriminant och t 

 talets z^ tecken, och om vidare x är en reel qvantitet hvilken 

 som hälst, och m ett helt tal, som är större än eller lika med 2, så är 



^ ^ A = l 



Om n är ett helt positivt tal, så erhålles häraf för z/ > O 



(- l)«-i(27r)2« \^ /^ \ £n T{hx,2n,j) 



