540 BEUGER, DE BERNOULLISKA FUNKTIONERNA. 



(99) cos "Inx = lim ^^ \^ ' T{x, 'In) . 



?l = oo " 



På samma sätt erhålles af eqv. (89) med användning af 

 teorem IV 



(100) sin 2/1^ = lim (— 1)""'(^^)"'"'' ^^(^^ 2n + 1). i) 



n=oo ' ■" 



Om vi sätta eqv. (94) under formen 



(101) cos ^7tx = ^^ — ^Vt^^^^ "^'0*-% ^" ' ^) 



^ (- If-' V /:_^ \ gA(2/r)^"r(A.f,2n,^) 



|2^U 



samt iakttaga, att qvantiteten {2,uf"'T{hx,2n, /l\ enligt teorem 

 V alltid är innesluten mellan bestämda ändliga gränser, så er- 

 hälla vi af eqv. (101), om vi låta n växa mot oändligheten, 



(102) cos ^nx = lim '^ — \ A, ^ T{x, 2n, J) för z^ > O . 



M = a) 2 I V ^ I 



På samma sätt erhålla vi af eqv. (95), (96), (97) med an- 

 vändning af teorem V formlerna 



(103) sin ^nx = lim ^^ \ ;_ / T{x , 2« + 1, z/) för z/ > O , 



ji=oo 2 1 Vz/ I 



(104) sin 27r^ = lim (izi}l?^ y^^^ ^ 2?i , ^) för ^ < O , 



?i = co 2|V z/ I 



(105) cos 2.r^- - lim L-t^—A^ — T{.x ,2n + l,J) för ./ < O . 



Vi anmärka här, att de sex nu bevisade formlerna (99), 

 (100), (102), (103), (104), (105) äfven kunna deduceras på det 

 sättet, att man i eqv. (52), (53), (70), (71), (72), (73) låter n 

 växa mot oändligheten. 



') Jämför: P. Appell, Sur les valeurs approohées des polynomes de Bernoulli 

 (Nouvelles annales de mathématiques, anuée 1887). 



