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Ofversigt af Konol. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 1891. N:o 8. 



Stockholm. 



Meddelanden från Stockholms Högskola. N:o 121. 



Sur le logarithme integral et la fonctioii f{x) 



de RlEMANN. 



Par E. Phragmén. 



[Présenté le 14 octobre 1891 par M. Mittag-Lepflee.] 



Depuis la publication du celebre memoire (Jeher die Anzahl 

 der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Riemann's Werke, 

 p. 136), on a beaucoup discuté sur les points que RlEMANN y 

 avait laissés obscurs. Mais les difficultés qu'ori rencontre dans 

 ces reclierches sont immenses, ä ce qu'il semble. Du moins, si on 

 fait abstraction de la demonstration annoncée par M. Stieltjes 

 du théoreme fundamental que les racines de l'equation '^{t) = 

 sont toutes reelles,^) ce cont tres peu des questions soulevées par 

 le memoire de Riemann qu'on a réussi a éclaircir jusqu' a pre- 

 sent. En particulier, on n'a pas encore publié de demonstration 

 rigoureuse du tait important, s'il y a la un fait, que la diffé- 

 rence du logarithme integral et de la fonction f{x) de RiEMANN 

 finit par s'annuler relativement å la fonction f{x) elle-méme. 



Peut-étre cette demonstration ne se fera-t-elle pas attendre 

 trop longtemps, l'attention des géométres ayant été dirigée de 

 ce cöté par les questions de concours proposées par deux illustres 

 Académies.-) Quoi qu'il en sera, voici en attendant un resultat 



') Coniptes rendus, t. 101, p. 153. 



^) L'Acadeniie des sciences de l'Institut de France a formule eii ces termes le 

 sujet dn grand prix des sciences mathéniatiques å décerner en 1891: »dé- 

 termiiiation du noiribre des nombres premiers inféiieurs å une quantité donnée». 

 La méme année, l'.'^eaderaie des .'<ciences de Copenhague se propose de couronner 

 de sa inédaille d'or une monographie de la fonction l,{s) de Rif.mann qui 

 parviendrait å triompher des difficultés auxquelles donne nais.sance, aujour- 

 d'hui, l'application de cette fonction å la théorie des nombres. 



