600 PHRAGMÉN, SUR LE LOGARITHME INTEGRAL. 



moins precis, de peu d'importance peut-étre, raais qui me parait 

 assez curieux. 



Soit, couime cliez Riemann, f{x) le nombre des premiers 

 iuférieurs å a', augmenté du demi-nombre des carrés de premiers, 

 de la troisieme partie des cubes de premiers etc. au-dessous de 

 la méme limite, et soit Li ,v le logarithme integral, c'est-a-dire 



Li X = valeur principale de 1 



dx 

 log X 



o 



,. i dx i dx 



= lim \- + \ 



=0 J log ^ j log X 



o l+f 



Ceci pose, il ny a pas de limite au dela de laquelle la 



différence 



f\x) — (Li X — log 2) 



ne change plus de signe. 



Cest, comme on voit, un resultat un peu plus precis que 

 celui qu'on doit å M. Tchebycheff. ^) 



Ce théoréme est une conséquence immédiate d'une proposition 

 plus generale dont voici Ténoncé. 



Soit (f{x) une f önation reelle de la variable reelle x et a une con- 

 stante positive non inférieure ä Vunité, et supposons que Vintégrale 



j cp(x)x 



dx 



soit convergente pour les valeurs de s dont la partie reelle est 

 supérienre ä Vunité, et qit^elle soit égale, dans le voisinage de 

 s = 1, a une serie procédant suivant les puissances positives de 

 s — \ et convergente dans un cercle dont le rayon est plus grand 

 que Vunité; si A'^ et ö sont deux quantités positives choisies ä 

 volonte^ aucune des deux inégalités 



cp{x) > (i , q){^^) < — å 

 ne pourra snhsister pour toutes les valeurs de x suj^érieures ä x^. 



') Sur la fonction qui détermine la totalité des nomhres premiers inférieurs a 

 une limite donnée, Mémoires des savanta étrangers, S:t Pétersbourg 1851, et 

 Journal de Liouville, t. 17, 1852. 



