602 PHRAGMÉN, SUR. LE LOGARITHME INTEGRAL. 



Comme (p(w) ne change pas de signe sous le signe integral, 

 Tintégrale 



Xq 



est uniforméraent convergente pour les valeurs de s dont la partie 

 reelle est plus grande qu'une valeur quelconque supérieure ä 

 Tunité. Par conséquent on a le droit de différentier sous le 

 signe integral. Différentiant n fois par rapport a s, nous aurons 

 donc 



(— iyf(f{a:)x-'-\log, xydx = \ii_' Cn + {s — 1), 



|s — 1] désignant une quantité qui s'annule en ménie temps que 

 s — 1. Puisque ((:{x) et log .7? sont positifs, et que x-'-'^ va 

 toujours en croissant vers x^- lorsque s décroit vers 1 (nous 

 supposons Xq~>1, ce qui est évidemment permis), on aura 



CO 



j (f{x)x~''i\o^ xydx ^ |w|c„| . 



•ni 



De l'autre cöté on a toujours, G désignant une quantité finie 

 et supérieure å Xf^, 



G 



jcf{x)x-'-\\og xYdx < I» |(^„| + |[s — 1)1 , 



■to 



par conséquent 



G G 



fcp{x)x-'\\og xydx = \\mf(p{x)x-'-\\og xydx ^ |w |c„| . 



Combinant ces deux resultats, on conclut que Tintégrale 



\q){x)x~-'^i\og xyåx 



converge et est égale å |ri|6'„j. 



Tous les elements étant positifs, on peut écrire 



Zoo 00 



\c„\ = fcp{x)x-^.l^^^^^^ dx = f(p{x)x-^dx . 



