608 PHRAGMÉN, SUR LK LOGARITHME INTEGRAL. 



On a par conséquent 

 (4) I Li .T • .r~'"~^(iA'= ~ + fonction entiére en s. 



u 



On obtient de méme 



/«""* lo» 2 

 log 2 • ^-""'~VZ.r = log 2 = — ^ h fonction entiere en s. 



a 



Il est donc démontré que Fintégrale 



oo 



f{f(x) — Ua+ log 2)x-'-hla; 



a 



peut se développer dans une serie procédant suivant les puis- 

 sances positives de (s — 1) et convergente dans un cercle 



|s — 1| = £, 6>1. 



De plus, la fonction /(.t) — Li ^ + log 2 = ff(a:) est discontinue 

 pour a=p, p désignant un nombre premier, de teile sorte que 



9(p + 0)-^(p-0) = l. 

 Pour /i < 1, on a 



cf{p + h) — (f{p + 0) = Li p — Li (p + h) > — j^- . 



Par conséquent 



cfiV + h) - ^'(P - 0) > 1 - y^ > 2 

 des que p > 7. Prenant donc, dans Fexpression (1), 



K = 1 , 



on pourra prendre 



1 



et on aura ce resultat que la serie 



Y^ m^hr _ V' 1 

 / J X.,, + hy ~~ / j 2{p + r> 



a une valeur intinie. 



