ÜFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1891, N:0 8. 609 



Le théoréme que nous avons énoncé ä la page 600 se trouve 

 donc rigoureusement déraontré. Il est evident qu'on pourrait 

 employer la méme niéthode pour démontrer uiie foule d'autres 

 resultats du inéme genre. 



Soit, p. ex., (f{^) une fonction définie par ces conditions 

 qu'elle sera constante entré deux puissances de premiers, et que 

 lorsque .x passe par une teile puissance p'', on aura 



y(p'+0) — (f{p'' ~ 0) = logp. 



Si W{ä;) désigne la somine des logarithmes des nombres premiers 

 inférieurs å x on aura 



On obtient tout de suite 



I (:p{x)x-'-hLx = y (p{n + 0) I x-'-'^da -= \ (fijii + '^ f "" ■ "^ ' 



1 



~^(<^(" + 0) - ^{n - 0))n-s = l^"^ 



1 d . 



s — 1 s s ds 

 c'est a dire 



-;^l0g(.9-l)C(.), 



(6) jcf(x).v-^-^dx = ^ -j+ ^(s - 1) , 



1 

 le Symbole ''^(s — 1) désignant une serie de puissances convergente 

 dans un cercle ä rayon plus grand que Tunité, et A étant une 

 constante dont nous écrirons plus bas la valeur. 

 Or on a 



1 



OO i 



"^ö?cr = w'dx = 



/Aa'~''~^dx = — . 

 1 



Öfters, af K. Vet.-Aknd. Förh. Årrj. 48. N:o 8- 



