614 PHRAGMÉN, SUll LE LOGARITHME INTÉGKAL. 



1 — ^7 = slog 2 + ...; 

 de plus on a 



CO 1 



A(0) == ^ Z.(l) = ^ f-A-- = 'I f^ = ^ . 



^^ TT -^ ^ /fj e^ + e--' nj l+x^ 2 



o o 



On peiit écrire, par coiiséquent, 



log Xi(g) ^ log {s — 1) ^ log s log 2 — log log 2 ^ ^ 



oii les symboles '^{s — 1) désignent, comme plus haut, deux 

 series de puissaiices dont les rayons de conver'gence sont supé- 

 rieurs a Tunité. 



Il suit de la que les trois expressions suivantes: 



/ X /It- 1 , log c« , -. \ 



/ X /It- Il log -2?! 



V^('^')-(2^^"-2l°^Io|l| 



(p{x) — ip(a;) + log 2 , 



changent de signe une infinite de fois. 



Il est facile de déduire de ce resultat l'expression qu'a in- 

 diquée M. Tchebycheff, dans une lettre adressée a M. Fuss 

 et publiée dans le Bulletin de V Académie de S:t Pétershourg 

 1853, pour l'exces du nonibre des nombres premiers de la forme 

 4h + 3 sur ceux de la forme An + 1 . 



En effet, désignant par d-v{x) et öy(^) le nombre de v^^ puis- 

 sances de premiers congrues ä 1 et å 3 resp. suivant le module 4, 

 on a 



(p{,v) - ^, (.^•) + 2 ^2(^^') + 3 ^3(^') + • • • 

 (17) ^ 



Xp{x) = ■ Ö, {x) + * + g Ö3(a') + . . . , 



car il n'y a pas de carrés de premiers congrus a 3, mod 4. 



