ÖPVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1891, N:0 9. 627 



(6) .- - zi = C; log (/, - ui) + [a - y.;.],„^^^ ' '\ 



(6a) ^-.^.=:C'logu'4-K]„;^"'-'"\ 



Eine wichtige Eigenschaft der Function ii können wir aus diesen 

 Entwickelungen unmittelbar entnehmen. Mit iVusnahme derje- 

 nigen, immer nur in endlicher Anzahl vorhandenen Werthe, in 

 deren Umgebung Ji^ntwickelungen von der Form (4), (5) oder (6) 

 gelten, nimmt dieselbe jeden Werth für einen endlichen Werth 

 von z wenigstens einmal an. 



Was das Verhalten dieser Function im übrigen betrifft,, 

 wollen wir zunächst den folgenden Satz beweisen : 



Ist ein ganz und gar im Endliche?! gelegener Bereich Z ge- 

 geben, so entspricht deutselben stets eine positive Grösse q von 

 der Beschaffenheit, dass wenn z innerhalb z, ü vollkommen beliebig 

 geioählt ivird, man immer eine Grösse ^ und eine in der Umge- 

 bung derselben gültige Entwickehing nach positiven gebrochenen 

 Potenzen von z — "C fanden kann, welche in der Umgebung n 

 von z convergirt, für z = z den Werth u = ü annimmt, und 

 für u eingesetzt die Differentialgleichung 



befriedigt. 



Hat man zwei Entioickelungen der genannten Art gefunden, 

 so müssen dieselben in der Umgebung q von z übereinstimmen. 



Der wesentliche Inhalt des ersten Teils dieses Satzes könnte 

 kürzer folgendermassen wiedergegeben werden: 



Die durch eine Differentialgleichung der Form 



als Function von z deßnirte Grösse u, hat in endlicher Entfer- 

 nung nur algebraische Singula7'itäten. 



Um diesen Satz zu beweisen, wollen wir zuerst zeigen dass 

 man berechtigt ist anzunehmen, dass die Grössen zi, z„, welche 

 auf der linken Seite der Gleichungen (o — 6) vorkommen, sämint- 



