632 PHRAGMÉN, BRIOT UND BOÜCIUEt's DIFFERENTIALGLEICHUNG. 



oder 



r<E. 



w. z. b. w. 



Der oberen Grenze R für r entspricht aber eine leicht anzu- 

 gebende untere Grenze für den absoluten Betrag von (u — ux)- 

 So lange die Veränderliche z das Gebiet Z nicht verlässt, kann 

 also der Werth der Function u sich denjenigen Werthen ux für 

 welche unsere Entwickelungen die Form (4), (5) oder (6) haben, 

 nur bis zu einer gewissen Grenze nähern. Es kann dieses Resultat, 

 wie man leicht einsieht, auch in der folgenden Form ausgesprochen 

 werden : 



Der durch die Gleichung (T) gegebene Zusammenhang zwi- 

 schen den Veränderlichen u und z, kann, sofern z das Gebiet Z 

 nicht verlassen soll, durch eine endliche Anzahl von Entwickelun- 

 gen der Form (ß) oder {ßd) dargestellt werden, indem zx, z«, 

 unbestimmte Constanten bezeichnen. Jede Entwickelung braucht 

 dabei nur in einem Gebiet angewandt zu loerden, welches die 

 Grenze des Converg enzg ebietes der Entwickelung nirgends erreicht. 



Eine einfache Überlegung lehrt ferner, dass wir das System 

 unserer Entwickelungen auch so wählen können, dass jede Ent- 

 wickelung nur für solche Werthe von u gebraucht wird, dass 

 die zugehörigen Werthe von z die Grenze des Converg enzg ebietes 

 für die Umkehrung der Entwickelung nirgends erreichen. Denn 

 da es nur eine endliche Anzahl von u- Werthen giebt, welche 



dem Werth -^ = entsprechen, so können wir uns sämmtliche 

 du 



diese Werthe unter den ux aufgenommen denken. 



Betrachten wir dann eine Entwickelung 



(17) z-zx^[u-ux]J^ 



und bezeichnen durch Ux das Gebiet für welches wir diese Ent- 

 wickelung anzuwenden haben, sowie durch Zx eine Umgebung 

 von zx, welche im Innern des Convergenzgebietes der Umkehrung 

 gewählt ist, so können wir ein neues Gebiet U'x finden, von der 

 Beschaffenheit dass unsere Entwickelung für u innerhalb U'x, 



