634 PHRAGMÉN, BRIOT UND BOUaUEx's DIFFERENTIALGLEICHUNG. 



und zweitens dass die Gebiete in welche wir das Gebiet Ux 

 zerlegt haben, die Ungleichung 



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befriedigen, -woraus folgt dass z — 2 innerhalb dieser Gebiete 



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seinem absoluten Betrage nach nicht grösser als ^ wird. 



Jetzt sind wir im Stande völlig klar zu überschauen, wie u 

 variirt, wenn man z längs einem beliebigen innerhalb Z gelegenen 

 Wege variiren lässt. Es sei nämlich q eine Grösse welche nicht 

 grösser ist als irgend einer der halben Convergenzradien der 



Umkehrungen von (17) und auch nicht grösser als -^ . Ferner 



sei S(, der Anfangswerth von z, u„ der zugehörige Werth von w. 

 Dann giebt es eine unserer Entwickelungen welche in der Um- 

 gebung von ?«(, gilt, deren Constante durch die Bestimmung 

 z =^ z^ für u = Uq bestimmt wird, und deren Umkehrung in einer 

 Umgebung von z ^= z„ deren Radius grösser als q ist, convergirt. 

 Unsere Function ist also w'enigstens für diese Umgebung definirt. 

 In dem Punkte wo der gegebene Weg diese Umgebung verlässt, 

 hat u einen bestimmten Werth. Wir können also dieselbe Schluss- 

 folgerung wiederholen, und erhalten so unsere Function w'ieder 

 für eine Umgebung mit dem Radius q definirt. In dieser Weise 

 können wir aber offenbar jeden beliebigen Punkt des Gebietes Z 

 erreichen. 



Hierdurch ist also der auf S. 627 ausgesprochene Satz voll- 

 ständig erwiesen. 



Wenn man die Natur der Function u näher zu bestimmen 

 sucht, so ist es bekanntlich leicht zu zeigen, dass dieselbe ent- 

 Aveder eine algebraische Function von z ist, oder auch eine peri- 

 odische Function. Wenn man nämlich ii einen solchen geschlos- ' 



du 

 senen Weg beschreiben lässt, dass der Weg von — auch ge- 

 schlossen ist, kann z entweder auch einen geschlossenen Weg 

 beschreiben oder auch nicht. Nun giebt es eine endliche Anzahl 



