ÖKVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1891, N:0 9. 635 



solcher Wege für u, auf welche alle übrigen sich zurückführen 

 lassen. Ist für sänimtliche diese Wege der Weg von z geschlos- 

 sen, so ist z eine algebraische Function von u, und zwar als 



eine rationale Function von u und -y- darstellbar (Man vgl. z. B. 



Briot, Theorie des Functions abéliennes, Note B.). Giebt es 

 einen dieser Wege für welchen die Differenz des Anfangs- und 

 End-Werthes von z von Null verschieden, z. B. gleich 2co ist, 

 so verhält sich unsere Function u in der Umgebung von Zf^ + 2oj 

 ganz ebenso wie in der Umgebung von z^. Die Function ist 

 periodisch und 2ct} ist eine Periode derselben. 



Also können wir sagen: 



Die Function u ist entweder algebraisch, oder sie besitzt 

 eine endliche Anzahl von Perioden. 



Einige specielle Fälle verdienen besondere Erwähnung. Ha- 

 ben sämmtliche Perioden unserer Function die Form 



2mco , ni = + ], +2, +3,... 

 so ist 



Tliz 



w ' 



e 

 eine eindeutige Function von it und — , und man zeigt, dass 



sie als eine rationale Function dieser Grössen dargestellt werden 

 kann, it ist also eine algebraische P\inction von 



Ebenso, können sämmtliche Perioden unserer Function durch 

 den Ausdruck 



2mco + 2m'iü', j"^j = 0, ±1, ±2,...j 



dargestellt werden und ist der Quotient — nicht reell so ist die 



CO 



Function 



p(^ I to , co') 



eine eindeutige Function von u und -y- und als rationale 



dz 



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