636 PHRAGMÉN, BRIOT UND BOUaUET's DIFFERENTIALGLEICHUNG. 



Function dieser Grössen darstellbar. Also ist umgekehrt u 

 eine algebraische Function von p(2:|w,tu'). 



Nachdem wir so die analytische Natur unserer Function im 

 allgemeinen Falle klar gelegt haben, folgen die Resultate von 

 Briot und BouQUET fast von selbst. 



Da jede Entwickelung von der Form (3) oder (3a) 



in , — 11 . 



z — zi = {u —ui]^ {mi > ni) 



resp, 



r i-ftn' — n' / r ^ '\ 



z — z„=[u l^. {m >n) 



durch Umkehrung eine Entwickelung der Form 



u — ux= [z — zx 



resp. 



hervorbringt, so kann unsere Function natürlich nur dann ein- 

 deutig sein, wenn man in jeder Entwickelung der Form (3) 

 oder (3a) 



mx — nx 

 resp. 



1 



nx = — , 



(X 



V 



1 



m' = ^ 



hat, indem i.i, v ganze Zahlen bezeichnen. Umgekehrt erlauben uns 

 aber auch unsere vorhergehenden Ausführungen ohne Weiteres den 

 Schluss zu ziehen, dass die Functionen, sobald diese Bedingung er- 

 füllt ist, wirklich innerhalb jedes endlichen Bereiches -^eindeutig ist. 



Wir haben also die nothwendigen und hinreichenden Bedin- 

 gungen der Eindeutigkeit gefunden. 



Dieselben können so formulirt werden: 



Damit u eine eindeutige Function von z sei, ist nothicendig 



und hinreichend, dass die Entwickelung en von - in der Umge- 

 bung der Werthe u = ux für ivelche -=- = ivird, die Form 



