638 PHRAGMÉN, BUIOT UND BOUUUET's DIFFERENTIALGLEICHUNG. 



befriedigt, als die Wurzel einer algebraischen Gleichung m'.ten 

 Grades betrachtet werden kann, deren Coefficienten entAveder ratio- 

 nale Functionen von z, oder rationale Functionen einer Expo- 



niz 



nentialfünktion e "^ , oder endlich rationale Functionen einer ellip- 

 tischen Function f{z\w.co') und ihrer ersten Derivirten sind. 



Die Kenntniss der einfachsten Eigenschaften dieser Art von 

 Functionen genügt um diese drei Fälle sehr leicht unterscheiden 

 zu können. Eine elliptische Function nämlich nimmt jeden 

 Werth ti = II), oder w = oo wirklich an, d. h. es giebt immer 

 einen Werth z =^ zx in deren Umgebung eine Entwickelung 



(19) u-ux^[z — zxl/-, mx>0, ni>0, 



resp. 



l.^^t'==[z-z^r' m'>0, n'>0, 



gilt. Hieraus erhält man, indem ich nur die erste Formel be- 

 handle, 



(20) z — zx =^ [u — ux]^^^, 



(21) S,= ["-< • 

 also 



rill m.,—71. 



(22) 2=[u-ux]J^^ \ nx>0. 



zrci 



Ist dagegen u eine algebraische Function von e '^ , so erhält man 

 ausser Entwickelungen derselben Form wie oben, noch gewisse 

 Entwickelungen der Form 



(23) r ± 



It — U/. '■= \_ß J"; 7 



WO in dem Exponenten Plus oder Minus steht, je nachdem der 

 Werth u — iix dem Werthe 



zni zni 



e^" =0 oder g '" = co 

 entspricht. Statt u — ux kann natürlich - treten. 



mx > , n;. > 



