640 PHRAGMÉN, BRIOT UND BOUaUEX's DIFFERENTIALGLEICHUNG. 



gleich Null ist. Diese Entwickelung kann auch geschrieben werden 

 du ™i"^"2 



(31) ^=[^*-^^-k • 



Diese Resultate ergeben teils die von Briot und Bouq,UET gege- 

 benen Criterien, um zu entscheiden welcher Art eine als eindeutig 

 erkennte Lösung ist. Aber sie enthalten natürlich andererseits 

 auch gewisse Bedingungen welche erfüllt sein müssen, damit u 

 eine Function von endlicher Vieldeutigkeit sein könne. 



Die Frage nach den hinreichenden Bedingungen ist dagegen 

 in diesem Falle selbstverständlich nicht so einfach zu erledigen. 



In dem Falle z. B. wo es eine Entwickelung der Form 



du ^x-^''x ^f. 



^ = [^^ — ^'l\ ' nx>{) ,. 



giebt, ist man gar nicht sicher dass u eine algebraische Function 

 von z ist, auch wenn man constatirt hat, dass der Coefficient von 



{u — ux)-'^ 



dz 

 jeder entsprechenden Entwickelung von ^ gleich Null ist, und 



dass ausser den Entwickelungen dieser Art nur Entwickelungen 

 der Form 



^=[^* — ^*^-L^ , nx>0, 



vorkommen. Aber soviel weiss man doch, dass die Function 

 entweder algebraisch ist, oder auch unendlich vieldeutig. Man 

 kann aber ausserdem sagen wie vieldeutig die Function ist, wenn 

 sie algebraisch ist, und auch die Werthe von u angeben welche 

 dem Werthe ^ = co entsprechen. Es sind nämlich dies gerade 

 die Werthe, in deren Umgebung die Entwickelungen (31) auftre- 

 ten. Es sei ferner ri die kleinste ganze Zahl für welche sowohl 



V)— wie V) — ganze Zahlen sind; dann giebt A^ = ^vx die 

 'nx 'nx 



Anzahl der Werthe von u an, welche einem Werthe von z in der 

 Umgebung von 2; == oo entsprechen, also die Vieldeutigkeit der 

 Function u. Die algebraische Relation zwischen u und z muss 



