ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1891, N:0 9. 641 



also, falls sie existirt, vom Grade N' in Bezug auf u sein. In Bezug 

 auf z muss sie aber von demselben Grade sein wie die Gleichung 



„/ au 



CL Ia, \ y-. 



du 

 in Bezug auf -;- . Denn wir haben gesehen dass s als eine ratio- 



^ dz "" 



du 

 nale Function von u und -- dargestellt werden kann, also als 



dz 



Function von u betrachtet höchstens ebenso vieldeutig sein kann 



als -r- . Andererseits kann aber umgekehrt immer -^ als eine 

 dz dz 



rationale Function von u und z dargestellt Averden, und die Func- 



du 

 tionen u und -r müssen also als Functionen von u betrachtet 

 dz 



gleicher Vieldeutigkeit sein. 



Die hypothetische algebraische Relation zwischen u und z 



muss also die Form haben 



(32) G^o(^)-" + GM^''-^ + GJ^u)z- - 2 + . . . + Gn{u) = , 



wo n der Grad von Mu, -jA in Bezug auf -^ ist, und avo man 



die rationalen Functionen 



Gj{u) G^{ii) Gn{u) 



G,{u)' G,{u)'--- GM 



welche höchstens vom Grade N sein können, bis auf gewisse 

 Constanten kennt. Die Aufgabe zu untersuchen, ob diese Con- 

 stanten so bestimmt werden können, dass die Gleichung (32) 

 durch Differentiation und Elimination von z auf die Gleichung 

 (1) zurückführt, ist natürlich rein algebraischer Natur. Auf die- 

 jenigen Algorithmen einzugehen, welche geeignet sind, diese alge- 

 braische Untersuchung formell möglichst zu vereinfachen, würde 

 die Grenzen dieser Arbeit überschreiten. Es möge nur im Vorbei- 

 gehen bemerkt werden, dass die Zerlegung eines gegebenen alge- 

 braischen Differentials in Differentiale der verschiedenen Gattun- 

 gen, wie sie z. B. in den Vorlesungen des Hrn. Weierstrass 



