642 PHRAGMÉN, BRIOT UND BOUöüEt's DIFFERENTIALGLEICHUNG, 



über ABEL'sche Functionen gelehrt wird, einen solchen Algorith- 

 mus von vorzüglicher Einfachheit liefert. 



Kommt keine Entwickelung der Form (31) vor, Avohl aber 

 solche von der Form 



du '"■; 



(33) ^=f"-^'^^' 



so kann die Frage nicht mehr auf so einfache Weise behandelt 

 werden. Ehe wir aber auf die für diesen Fall eigenthümlichen 

 wesentlichen Schwierigkeiten näher eingehen, wollen wir betreffs 

 der algebraischen Functionen einer Exponentialfunction einige 

 allgemeine Betrachtungen anstellen, welche mit der zu behan- 

 delnden Frage in einem gewissen Zusammenhang stehen. Es sei 



(34) G{u,x)^0 



eine irreductible algebraische Gleichung, und es sei u als eine 

 Function von z durch die Gleichung 



(35) G{u , e^-0 = 



bestimmt. Dann wird gefragt: welche ist die fundamentale Pe- 

 riode dieser Function? Eine einfache Überlegung zeigt, dass die- 

 selbe nicht immer gleich 



T" 



ist, wie man etwa bei oberflächlicher Betrachtung zu glauben 

 geneigt sein könnte. 



Z. B. wenn die gegebene algebraische Gleichung 



u — ar- = o 



ist, so ist 



U = g2*z 



und die fundamentale Periode ist 



ni 



T' 



nicht —j-. Wäre die Gleichung zwischen n und v andererseits z. B. 



u^ — X = 

 so hätte man 



21 = e 



