644 PHRAGMÉN, BRIOT UND BOUaUEl's DIFFERENTIALGLEICHUNG. 



"Wenn man sich eines Weges bedient, welcher der Punkt x = 

 nur einmal umkreist, und keinen anderen singulären Punkt ein- 

 schliesst, so müssen wir sämmtliche Gruppen erhalten, wenn 

 wir X diesen Weg wiederholt beschreiben lassen. 



Ist die Anzahl der Gruppen gleich m, die Anzahl der Werthe 

 in jeder Gruppe gleich r', also r := ?>w', so führe man 



i- m 



ein. Dann gehen die Werthe einer jeden Gruppe nur in einander 

 über, wenn ^ den Punkt § = umkreist. Als Function von '§ 

 iiufgefasst hat also die Function u nur r' Werthe, deren elemen- 

 tare symmetrische Functionen rationale Functionen in § sind. Man 

 hat also 



wo G^ in Bezug auf u vom Grade r' ist. Die Werthe von u 

 welche zu den anderen Gruppen gehören, befriedigen Gleichungen 

 der Form 



Gi(w, «§) = 

 wo a eine Wurzel von 



(36) a™ = 1 



ist. Man hat also, indem man den Coefiicienten der höchsten 

 Potenz von u überall gleich 1 annimmt, 



m 



(37) G{u,x)=i[lG,{it,a"^), 



indem man jetzt für a eine primitive Wurzel der Gleichung (36) 

 wählt. Man kann dieses Resultat so aussprechen: 



Wenn die Werthe Uy in der angegebenen Weise in mehrere 

 Gruppen zerfallen, so loird die Gleichung 



G(ti , .r) = 



durch Adjunction der entsprechenden Wurzel aus x reductihel. 

 Umgekehrt gilt auch: 

 Wird die Gleichung 



G{%i , A') = 



