646 PHRAGMÉN, BRIOT UND BOUaUEx's DIFFERENTIALGLEICHUNG. 



sprüngliche Gleichung kann in diesem Falle nur ganze Potenzen 

 von a;'* enthalten; denn man hat 



G{u, x) = Y\ GÅu, cc^'x'"] 



Die Resultate dieser kleinen Untersuchung können wir auf die 

 folgende Weise zusammenfassen. Ist für eine r-deutige Function 

 u des Arguments z, ivelche cds eine algebraische Function einer 

 Exponentialfunction definirt ist, 2w die fundamefitale Periode, 



TCiz 



so befriedigt u, wenn x =^ e'^ gesetzt loird, eine irreductible alge- 

 braische Gleichung vom rden Grade in u 



G{u,x)^ 

 loelche nicht durch Adjunction einer ganzzahligen Wurzel aus x 

 reductihel gemacht iverden kann, xind loo die linke Seite nicht 

 als eine ganze Function von u und. einer ganzzahligen Potenz 

 von X geschriehen loerden kann. 

 Ist 







^«.£1 



die irreductible algebraische Gleichung, welche zivischen u und 



~^- besteht, so ist die Gleichung 

 dz 



G{u, x) = 

 von demselben Grad in x ivie die obige Gleichung in -j- . 



Denn einerseits kann man aus der Gleichung 



G(u , x) = 



^ als eine rationale Function von u und x ausdrücken, und 



dz 



du 

 andererseits kann auch x als rationale Function von u und ^- 



dz 



dargestellt werden. ') 



In den Entwickelungen von der Form 



dz —m^ 



-Y- =^\u U}\ 



du ^ -■'";. 



') Beiot, Theorie der fonctions abéliennes, Note B. 



