648 PHUAGMÉN, BRIOT UND BOUaUEl's DIFFERENTIALGLEICHUNG. 



(39) G{u , x) = G^{u)x- + G^{u)x--^ +.. + Gn{u) 



schreiben, so kennen wir also «, den höchsten Grad der Func- 

 tionen Gq{u) . . . Gn{u), sowie die Functionen Gq{u) und Gn{u) 

 abgesehen von einer multiplicativen Constante. 



(Wenn wir dies mit den friiheren Ausführungen über Glei- 

 chungen der Form G{u, e''^) = in Verbindung bringen, so ergiebt 

 sich, wie wir im Vorübergehen bemerken, eine Methode zu unter- 

 suchen, ob eine Gleichung 



G{u,a;) = 



durch Adjunction einer ganzen Wurzel aus a; reductibel gemacht 

 werden kann, oder nicht. Indem wir nämlich 



setzen, und die entsprechende irreductible Gleichung 



^"4:)=« 



bilden, so tritt der letztere oder der erstere Fall ein, je nach 

 dem die aus der letzteren Gleichung hergeleitete Zahl N mit 

 dem Grad der ersteren Gleichung in u übereinstimmt, oder nicht.) 

 Die Untersuchung, ob die noch unbekannten Coefficienten in 

 (39) sich so bestimmen lassen, dass die Gleichung 



1-1 <^"\ 







besteht, ist, wie im früher behandelten Falle, ganz algebraischer 

 Natur. 



Die einzige Schwierigkeit, welche hier neu auftritt, besteht 

 also darin, dass wir den Werth der ganzen Zahl j^ nicht bestim- 

 men können. Wie wesentlich aber diese Schwierigkeit mit der 

 Natur unserer Aufgabe verknüpft ist, sieht man durch die Be- 

 trachtung eines einfachen speciellen Falles am leichtesten ein. 



Die gegebene Differentialgleichung sei z. B. 



(7 i O 



wo wir annehmen wollen dass sowohl die Grösse u^ wie die Null- 



