ÖFVERSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 18 91, N:0 9. 649 



stellen der rechten Seite reell sind. Diese Nullstellen wollen wir 

 mit Mj, u^, Mg, u^ bezeichnen, und annehmen dass 



11^ •< Z<2 "< Mg <C M^ 



sei, mit Ausschliessung der Gleichheit zweier Grössen. Da die 

 Differentialgleichung (40) bei der Substitution von au+b an der 

 Stelle von u ihre allgemeine Gestalt nicht ändert, so können wir 

 annehmen, dass zwei der Grössen u^, u^, Un, u^, u^ gegebene 

 endliche Werthe haben, z. B. Mj = 0, «2 = 1, nach welcher 

 Transformation unsere Gleichung also nur drei Parameter enthält. 

 Die durch die Gleichung (40) definirte Relation zwischen u und 

 z vermittelt eine conforme Abbildung der einfachsten Art, deren 

 Betrachtung sehr geeignet ist, uns in die Natur der von uns 

 besprochenen Aufgabe einen tieferen Einblick zu geben. 



Wenn nämlich u die reelle Axe beschreibt, von u = — oo 

 bis M = Mj , so beschreibt z eine der reellen Axe parallele Gerade, 

 Avir können annehmen, die reelle Axe selbst, von ^ = — oo bis 

 zu einem gewissen endlichen Werthe z = z^, und beschreibt diesen 

 Weg ohne umzukehren, wenn wir Uq > u^ annehmen. Wir wollen 

 annehmen dass Uq die Un- -p- ^ 



gleichung 



«2 <C ^0 "^ Mg 



befriedigt, was, wie wir 

 sehen werden, der einzige 

 Fall ist, wo u endlich viel- 

 deutig sein kann. Wenn u 

 den Werth u^ auf einem unendlich kleinen in der oberen Halb- 

 ebene gelegenen Halbkreis umgeht, so beschreibt z einen unendlich 

 kleinen Viertelkreis. Indem dann u von u^ bis u^ auf der reellen 

 Axe weiter geht, beschreibt z die zur reellen Axe senkrechte 

 Gerade z^ . . . z^. Wenn u von u^ über tc^ bis u^ geht, so geht 

 z von z^ bis z^^ (vgl. die Figur), kehrt da um, indem einem Halb- 

 kreise über Uf^ ein ganzer Kreis um z^ entspricht, und geht in 

 der entgegengesetzten Richtung bis zu einem Werthe z^. End- 

 lich entspricht dem noch übrigen Teile der reellen Axe in der 



— oo + 7ii 





z^ 









^s 







'■o ■"" ■ 





^£ 



— oo 







«/ 



