650 PHRAGMÉN, BRIOT UND BOUaUETS DIFFERENTIALGLEICHUNG. 



i^-Ebene, der Weg z^ . . z^ . . { — 00 + 712) in der 2;-Ebene. Der 

 Abstand der Geraden — 00 . . z^ und z^ . . . ( — co + ni) ist gleich 

 TT, was wir schon durch die Bezeichnung ( — 00 + ni) angedeutet 

 haben. 



Hierdurch ist aber, da -^ in der oberen Halbebene nie Null 

 du 



wird, nach dem fundamentalen Satze der Theorie der conformen 

 Abbildung, bewiesen, dass unsere Relation die conforme Abbil- 

 dung der oberen Halbebene auf den links von der Begrenzungs- 

 linie ( — co) . . z-i . . Z2 . . Zq . . z.^ . . Zn{ — CO + ^^) gelegeneu Bereich 

 vermittelt. 



Daraus folgt aber nach einem bekannten Satze, dass die 

 Function u von z über die ganze Ebene fortgesetzt werden kann, 

 der Art dass sie in Punkten welche in Bezug auf eine der Geraden 

 (— 00) . . ^j , z^. .z^, z^_. .z^..Zf,, ^3.-^4, z^. .{—00 + ni) sym- 

 metrisch liegen, conjugirt complexe Werthe annehmen. 



Daraus folgt aber sogleich, dass unsere Function u die fol- 

 genden Perioden hat 



27ri, 2(0.-.-,), 'Ah-H)- 

 Von diesen ist 



2(^2 — -1) 

 imaginär, 



2(0, -.3) 



reell. Damit unsere Function u eine endlich vieldeutige Func- 

 tion mit nur einer Fundamentalperiode sei, muss man also haben 



- — r^ gleich einer rationalen Zahl. 



m 



Umgekehrt ist die Function, 

 durch welche ein Bereich wie 

 der in Fig. 2 gegebene, wo 



Y\ 



a 



z,, — z^ = f.ini , 

 und u rational ist, auf die obere 



