652 PHRAGMÉN, BRIOT UND BOUöUEt's DIFFERENTIALGLEICHUNG. 



und die fundamentale Periode inuss von der Form 



2 Tri 



V 



sein, indem v eine ganze Zahl bedeutet. Wie wir aber soeben 

 gesehen haben, kann auch jeder der unendlich vielen Fälle 



v^ 1,2,3,4,... 

 wirklich eintreten. 



Die bisherigen Ausführungen können in dem folgenden Satze 

 zusammengefasst werden : 



Wenn ivir zwischen den drei Parametern Uq, i^g, u^ der 

 Di ff er en tialg leichung 



{u — u^f\^-£ = u{u — 1) {u — u^) {ü — u^) 

 die Relation 



«3 



/{U U(y)dlC 

 Vm(m 1) (w Wg) (m M^) 



1 

 als erfüllt annehmen, oder, um uns auf den einfachsten Fall zu 

 beschränken, wenn tvir u^ imd u^ reell und 



1 ■< M3 <C M4 



annehmen, und u^ durch die Gleichung 



"3 "3 



r du f udu 



Uq I , = : 



J \u{u — 1) (1/3 — u) (u^ — u) J y'u{u 1) (Wj — u) {u^ — 11) 



'] ... ..^ 



bestimmen, so giebt es in jeder Umgebung eines Werthevaares 

 UjM^ andere Werthepaare, für loelche u eine algebraische Func- 

 tion einer Exponentialfunction wird. 



Wir können liieraus schliessen, und zwar für den allgemeinen 

 Fall, da derselbe natürlich jedenfalls nicht einfacher behandelt 

 werden kann als der specielle, dass wenn es gelingen soll, die 

 behandelte Aufgabe durch einen algebraisch-arithmetischen Algo- 

 rithmus zu ■ behandeln, so muss dieser Algorithmus ein solcher 

 sein welcher auf die arithmetische Beschaffenheit der Parameter 



