654 PHRA&MÉN, BRIOT UND BOUaUEx's DIFFERENTIALGLEICHUNG. 



(il — u^du 



J \u'^ + au^ + ßti- + yu + d 



«2 



einen von Null verschiedenen Werth hat, um sicher zu sein, 

 dass u nicht als eine algebraische Function einer Exponential- 

 function aufgefasst werden kann. 



Ehe wir diesen Gegenstand verlassen, will ich noch zeigen 

 wie die Betrachtung einer Abbildungsaufgabe wie die obige mit 

 der grössten Leichtigkeit zur wirklichen Aufstellung der reducir- 

 baren Gleichungen von der Form 



du 



dz 



R{u)\'F{u) 



führt, wo R{u) eine rationale, F{u) eine ganze Function bedeuten, 

 deren sämmtliche Null- und Unendlichkeitstellen wir der Ein- 

 fachheit . halber reell annehmen wollen. Zuerst sieht man fast 

 unmittelbar, dass die Function u nur dann endlicher Vieldeutig- 

 keit sein kann, wenn nur in einem einzigen Punkte Entwic- 

 kelungen der Form 



du 



dz 



au ^ -," 



— = [,, — ux\ 



Fisr. 3. 



vorkommt. Denn sobald u für mehr als einen Werth von u 

 logarithmisch unendlich wird, so wird die obere Halbebene auf 

 einen Bereich abgebildet, der im einfachsten Falle eine Gestalt etwa 

 wie die in Fig. 3 angegebene hat. Man erhält also nothwendig, 

 wie man sich leicht überzeugt, eine reelle Periode, da die Begren- 

 zung, nach den einfachsten 

 Principien der Theorie der 

 conformen Abbildung, nicht 

 sich selbst schneiden kann. 

 Durch Ausführung einer li- 

 nearen gebrochenen Substi- 

 tution auf u können wir die- 

 sen ausgezeichneten Punkt unendlich fern verlegen, wodurch un- 

 sere Differentialgleichung offenbar die Gestalt annimmt 



