658 PHRAGMÉN, BUIOT UND BOUQUEt's DIFFERENTIALGLEICHUNG. 



Umgekehrt giebt natürlich die Substitution dieser Aus- 

 drücke in 



immer 



{u — Uo)H ~r; 1 = (** — ^h) (^ — ^2) (^ — "3) (" — "4) • 



Es Aväre übrigens nicht schwierig die Abbiidungsaufgabe so 

 zu verallgemeinern, dass die Beschränkung dass u^^u^ . . . u^ reell 

 sein sollen, wegfällt. Thut man das, so Avird also bewiesen, dass 

 die Differentialgleichung (41) nur dann, und immer dann, durch 

 eine zweideutige Function, welche eine algebraische Function 

 einer Exponentialfunction ist, integrirt werden kann, wenn sie 

 durch die Substitution (43) aus der Differentialgleichung (42) 

 hervorgeht. 



Die Gleichungen (43) geben zwischen u^^ii^u^^ic^u^ zwei Rela- 

 tionen. Erstens nämlich muss 



(ti — Mj) (u — u^) — (ii — ti^) {u — M3) = Const. 



sein, d. h. 



i(^ + ^^4 = U2 + M3 ; 



und zweitens ist ?<„ als die Nullstelle von 



^0^ — ^«i)(« — ^O oder ^ (^t — M2) (w — «3) 



bestimmt. Man muss also haben 



2«Q = ?<j + ^«4 = Mo + u^ . 



In den Coefficienten a, ß, y, 6 von 



u* + au^ + ßu- + yu + å -— (u — Uy) (u — u^) {v — m,) (u — w^) 



ausgedrückt, giebt dies 



a^ — 4:aß + 8y = , 



Für V ^= ?j erhält man in derselben Weise, indem u^^, u^„ 

 zwei Werthe von u bedeuten, welche unter der Voraussetzung 

 dass Mq, M,, . . ., W4 reell und 



