660 PHRAGMÉN, BRIOT UND BOUQUET's DIFFERENTIALGLEICHUNG. 

 (47) v — V^= (U — 71^) lu + ?/j +~\ , 



welche auch 



(47a) v—v^ = u'^ + {^l^ + a)H- + (uj + a?«, + ß)i(. + u^ + ati] + ßu^ 4- y 



geschrieben werden kann, geht nämlich dann die Differential- 

 gleichung 



{dv\- 



m 



JduV 



über. 



Da diese Beispiele wohl genügen, um die Methode klar zu 

 legen, gehen wir jetzt zum dritten Fall über, indem wir anneh- 

 men dass die Differentialgleichung 



^-1) 



&., ^ 



nur Entwickelungen der Form 



du '"; — "3 



— = [u — ui\; ■ {ui>Q) 



giebt. 



Ist in diesem Fall u eine jn-deutige Function von z mit 

 dem fundamentalen Perioden paare 2w, 2w', so befriedigt u eine 

 Gleichung 

 (48) it"' + R^ zi»^ - 1 + R.vir - '-^ + . . + R,,, = 



wo Ry, R^T . . . Rm rationale Functionen von 



f{z\tu,co') und f'(z \ CO, 0)') 



sind. Von dieser Gleichung kann angenommen werden, einer- 

 seits, dass sie nicht durch Adjunction einer Function f(^z) mit 

 kleinerem Periodenparallelogram und ihrer ersten Derivirten f'(z 

 reductibel gemacht werden kann, und andererseits, dass die Coef- 

 ficienten R^, R^, . . . R,^ nicht sämratlich als rationale Functionen 

 eines Functionenpaars f{z), v'{^) ^^^^ grösserem Periodenparal- 



