662 PHRAGMÉN, BRIOT UND BOUaUET's DIFFERENTIALGLEICHUNG. 



du 

 in Beziehung auf -7- bedeutet, so sind R^, R^, . . . R^ elliptische 



Functionen von z vom Grade n höchstens, und enthalten also 

 nur eine beschränkte Anzahl unbestimmter Constanten. 



Auf diese allgemeinen Untersuchungen wollen wir aber hier 

 nicht näher eingehen, sondern beschränken uns, um die Natur des 

 Problems in gewisser Hinsicht besser erkennen zu können, auf 

 den Fall der hyperelliptischen Differentialgleichungen. In diesem 

 Falle sind wir berechtigt, die Coefficienten der Gleichung (48) 

 als gerade Functionen von z anzunehmen, also als rationale Func- 

 tionen von f(z), und zwar lineare, da sie elliptische Functionen 

 zweiten Grades sein sollen. Umgekehrt ist also y(z) eine ratio- 

 nale Function von u, f(z) = R{u), und zwar vom Grade /f, da 



man -pY^) = R'(u)-j~ erhält und verschiedene Vorzeichen von -r- 

 dz dz 



also verschiedene Vorzeichen von p'(^) entsprechen. 

 Speciell wollen wir die Gleichung 



(52) {u — z<o)-l -j~ I =^A{u - u^) (u - tic,) (u — u^)(u - u^){u — ^^-) {u — u^ 



ein bischen näher studiren, unter der Voraussetzung dass u^, ii^, 

 ?<2 , i<3 , u^ , u^ , Mß säm 

 gewählt, dass entweder 



<2, i«3, u^, u^, Mß sämmtlich reell sind. Die Indices seien so 



Ua + x > Wtf 



oder Ua die grösste, Ua + i die kleinste derselben ist. Die Con- 

 stante A möge so angenommen werden, dass 



A{l.l Mj) {u i(o) {u U^) (u U^) {u ?<-) {u Wg) 



Fig. 0. für u = Uq positiv wird. Der 



Bereich auf welchen die obere 

 Halbebene durch die Gleichung 

 (52) conform abgebildet wird, 

 hat dann etwa die Gestalt welche 

 die Fig. 6 aufweist. Die Buch- 

 staben sind so gewählt, dass dem 

 Werth u — w„ der Werth z — Za 

 entspricht. Man sieht hieraus 



^s 







^2 









^/ 



^0 



2y 





Z4 





% 





