ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1891, N:0 9. 663 



dass u die Perioden hat 



2(.,-^3), 2(.,-^,) 



welche reell sind, und 



welche rein imaginär sind. Damit u eine Function endlicher 

 Vieldeutigkeit sei, ist also nothwendig und hinreichend dass die 

 Quotienten 



^■=~^'^ und "^ " ^^ 



~2 '-3 ~2 ■*! 



beide rationale Werthe haben. 



Hieraus kann man, da die betrachtete Abbildungsaufgabe 

 mit der Integration der Differentialgleichung (52) sich völlig deckt, 

 den Schluss ziehen, dass in jeder Umgebung eines Werthsystems 



man andere Werthsysteme finden kann, für welche die Function 

 u sich auf elliptische Functionen reducirt. 



Hieraus kann man aber ferner schliessen, dass die Frage 

 ob ein gegebenes Abelsches Integral erster Gattung überhaupt 

 durch eine algebraische Transformation auf ein elliptisches Inte- 

 gral reducirbar ist, jedenfalls nur unter Berücksichtigung arith- 

 metischer Gesichtspunkte erledigt werden kann. Soviel dem Ver- 

 fasser bekannt, ist bisher in dieser Richtung gar nichts ge- 

 leistet. 



Es sei jetzt co das grösste gemeinschaftliche Mass von 

 (^j — z^ und (^2 — %) ^"^^ "1^1^ setze 



z.^ — z^ = m.uo ; 



ebenso sei co' das grösste gemeinschaftliche Mass von (0, — 2^1) 

 und (^g — z.) und zwar 



Zg — • ^. = in'^Cü' . 

 Dann hat also unsere Function das fundamentale Periodenpaar 



2w, 2w', 



