BERGER, EN ALGEBRAISK GENERALI SATION ETC. 



och om de heia funktionerna G{x)^ G^{x) icke hafva någon 

 gemensam rot, och om vidare koefficienten för den högsta dig- 

 niteten af oc i funktionen G{x) är 1, så är 



0^{x) = (to(^), mod G{x). 

 Ty enligt antagandet är produkten 



{G,{x)~G,{o^)]G,{cc) 



delbar med G{x)', emedan vidaj-e G2,{x) ej har någon gemensam 

 rot med G{x). så måste qvoten, som erhålles, då Gy{x) — G^i^ai) 

 divideras med G{ai;) vara en hel funktion af x; om man utför 

 denna division samt iakttager, att koefficienten för den högsta 

 digniteten af x i divisorn G{x) är lika med enheten, så inses 

 lätt, att alla koefficienterna i qvoten blifva hela tal; denna qvot 

 är alltså en hel heltalig funktion af x, och härmed är satsen 

 bevisad. 



Teorem VII. Om 



Gy{x) = G.,(x), mod G{x), 



och om 6^f,(■^') är en di visor till G{x), så är 

 Gi{x) = G^{x), mod G(^{x). 



Ty enligt antagandet är 



(15) G,(x) — GJ^x) = G{x) G^{x) 

 och 



(16) G{x) = G,{x) G,(x), 



och af dessa två likheter följer 



(17) , G,{x) ~ G,{x) ^ G,{x) G,{x) G,{x), 

 och således 



(18) Gi{x) = G,{^), mod G,^{x). 



Teorem VIII. Om 



G^{x)^^ G^ix), mod G{x), 



och om X = R är en rot till eqvationen 



G{x) --= O , 

 så är 



G,{R) = G._{R). 



