ÖFVERSIGT Al' K. VETENSK.-AKAl). FÖRHANDLINGAR 180 1 , N:0 10. 701 



Om vi sätta den nu bevisade kongruensen under formen 



2 h = p-\ ^p ^ 



(92) n (^'" — .^^-'0- n {^ —xP-")=p, mod ' _ 



och införa p — h i stället för h i den andra produkten, sä finna vi 



^ ~ xP — 1 



(93) n {^o" — xi>-")- n (a'^^-" — A-")^P, mod ^ _ 



A=l h = l X i. 



eller 



(^4) j n i^^" — ^'^^-"'')| = (— 1)^/' . 'iiod ^'^ . 



Vi kunna äfven på ett annat sätt transformera kongruensen 

 (91). Om vi i de två uttrycken 



2A — 1 , p — 2/i + 1 

 låta h genomlöpa talen 



1 ^> s ^^ — ^ 



1 , ^ , o , . . . o ' 



så erhålla vi af dessa uttryck tillsammans alla de hela talen 



1, 2, o,...j>— 1, 

 och alltså kan kongruensen (91) sättas under formen 



(95) n (.r2''-i— .r^-2"+i). n {xv--^''^^ — ic'>^-^)=p, mod— -- 

 eller 



\^^)\ n Of2'*-^— .^^^-2" + l)[=(— 1) 2 p, uiod^^^ . 



Vi sammanföra formlerna (94) och (96) i följande teorem. 



Teorem XYIII. Om p är ett positivt udda primtal, så är 



1'^^"^ r ^-^ xp-i 



I n {x^' —xP -''){ = {— 1) 2 p, mod' r- 



och 



