ÖFVEUSIGT AK K. VKTENSK.-AKAl). FÖRHANULlNCiAR 1891, ^':0 10. 70o 



Vi skola nu afgöra, oni det i denna kongruens ingående 

 talet é är lika med + 1 eller — 1. Talet é är tydligen bero- 

 ende blott afi', och det skulle kunna inträffa, att e för vissa 

 värden på p vore + 1 och for andra värden pä p vore — 1 , 

 men den följande undersökningen^) skall visa, att £ är lika med 

 + 1 för alla värden på p. 



Emedan venstra membrum af kongruensen (98) är en hel 

 heltalig funktion af .«, som är delbar med xp — 1, så måste 

 qvoten vara en hel heltalig funktion af x, och vi erhålla alltså 

 en identitet af formen 



A =£— - 1 j^^ 'p — \ 



(99) > ( -\v" — £ Yl (^'2/. - 1 _ -iji) - 2k + 1 •) 

 h — l 



= (XP — 1) (Cf, + fj^ + C^_X- + . . . + CmX'") , 



der m är ett helt positivt tal eller noll, och der c^, c-j, f^, ... 

 a,n äro rationela hela tal. Om vi i denna identitet sätta 



,^■ = e^ , 

 så erhålla vi den för alla värden på ~ gällande likheten 



(100) > /-W'— £■ n ((?(2/'-l)-_eü^-2/'+l)3) 



^L^ \P! k = i 



= (eP' — 1) (co + c^e' + c,_é^' + c^e^' + . . . + ^',,,6"'-) . 



Vi skola nu utveckla «[vantiteterna i båda membra i potens- 

 serier af z samt sedan sätta koefficienterna för 



i båda membi'a lika med hvarandra. Det venstra membrum är 

 lika med 



h=p — ] 7^—1 j^ — 1 



\n ih\ ,. hz K'z"- h 



i "• z 



•i 



2J;.<i + T-^o + --- + nrir-i3 + ---) 



^-J \pl 1 i- 2 1.2.3... , 



2 *> 



-£ n {{4:h-p--2)z +p{U~p-2)^+ ...}, 



h = l 



2 



') Denna metod att bestämma talet s är gifven al' Professor Kroneckek. 



