712 BERGER, EN ALGEBRAISK GENERALISATION ETC. 



Teorem XXII. Oni p är ett positivt udda primtal, och om 

 r är ett helt tal hvilket som hälst, så är 



A=l 



och om s är ett helt tal, som icke är delbart med p, så är 



A = 



om ^|p i båda formlerna betyder den positiva qvadratroten ur p. 

 Vi skola nu använda teorem XXI till att härleda uttryck 

 för den LEGENDRE'ska symbolen. Om vi på detta teorem an- 

 vända Substitutionen (126), så finna vi 



h 



p-\ . 2hrs7T 



(134) ^u n 



sin 



P 



P 

 hvilken formel nu är bevisad gälla, om r är ett helt positivt tal 

 eller noll samt s ett helt positivt tal, som ej är delbart med p. 

 Emedan båda membra blifva oförändrade, om r ökas eller min- 

 skas med multipler af p, och äfven om s ersattes med — s, så 

 gäller formeln tydligen för alla hela tal r och för alla hela tal 

 s, som icke äro delbara med p, hvarmed följande teorem är be- 

 visadt. 



Teorem XXIII. Om p är ett positivt udda primtal, r ett 

 helt tal hvilket som hälst samt 5 ett helt tal, som ej är delbart 

 med p, så är 



h = P^ . 2hrs7i 



n.\ 2 sm 



pj M sin 2^ 



• P 



För speciela värden på s erhållas häraf olika uttryck för 

 den LEGENDRE'ska symbolen. För s = 1 erh alles 



/,=P^ . 2hr7t 



I \ 2 Sin 1 



(135) i\= n 



PI r=-i sin?^ 

 p 



